傅里叶级数与变换推导

一、三角函数正交性

组成三角级数的函数系

$$1,cos\omega t,sin\omega t,cos2\omega t,sin2\omega t,\ldots\ldots,cosn\omega t,sinn\omega t,\ldots\ldots$$

在区间$[-\pi,\pi]$或$[0,2\pi]$上正交，即：其中任意两个不同函数之积在区间$[-\pi,\pi]$或$[0,2\pi]$积分为0.

二、周期为$2\pi$的函数展开为傅里叶级数

设周期为$2\pi$的函数$f(x)=f(x+2\pi)$，其可以展开为傅里叶级数，形如：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos (n x)+b_n \sin (n x)\right]$$

上式中写作$\frac{a_0}{2}$主要是为了保持表达式的统一性

• 求$a_0$

  对等式两端在区间$[-\pi,\pi]$上积分

  $$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_{0}}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\pi}a_{n}\cos nxdx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin xdx\\ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&=\pi \cdot a_0\\ a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \end{aligned}$$

• 求$a_n$

  先同乘$\cos mx$，再对等式两端在区间$[-\pi,\pi]$上积分

  $$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mxdx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos mxdx\\ +\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\cdot\cos mxdx & +\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}\sin nx\cdot\cos mxdx \\ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mxdx &=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx\cdot \cos mxdx \\ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx&=\int_{-\pi}^{\pi}a_n(\cos nx)^2dx =a_n\pi\\ a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx \end{aligned}$$

  上式中第一行到第二行利用了三角函数的正交性，两个积分始终为0。第二行到第三行去掉$\sum_{n=1}^{\infty}$则是由于，当且仅当$n=m$时，积分不为0。

• 同理可求得$b_n$

  $$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx$$

综上，周期为$2\pi$的函数$f(x)$的傅里叶展开为：

$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos (n x)+b_n \sin (n x)\right]\\ a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx \end{aligned}$$

三、周期为$2L$的函数展开为傅里叶级数

设周期为$2L$的函数$f(t)=f(t+2L)$，使用换元法，令$x=\frac{\pi}{L}$，则$t=\frac{L}{\pi}x$，此时

$$x=\frac{\pi}{L}t \\ f(t)=f(\frac{L}{\pi}x)\triangleq g(x)=g(x+2\pi)\\ \cos nx=\cos\frac{n\pi}{L}t \\ \sin nx=\sin\frac{n\pi}{L}t \\ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}dt$$

由此可知，周期为$2L$的函数$f(t)$的傅里叶展开为：

$$\begin{aligned} f(t) & =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi}{L}t+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi}{L}t \\ a_0 & =\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)dt \\ a_n & =\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)\cos\frac{n\pi}{L}tdt \\ b_n & =\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(t)\sin\frac{n\pi}{L}tdt \end{aligned}$$